Integración de la GEOMETRÍA FRACTAL en las Matemáticas y en la
Informática de Secundaria.
Miguel
Zapata Ros, 1996
Presentación
Justificación de la propuesta y descripción
de la unidad didáctica
La inclusión de los fractales en el Curriculum
de Matemáticas en Secundaria
El lenguaje LOGO y el aprendizaje de la Geometría
Pero...¿qué son los
fractales?
Los
fractales en la naturaleza y en las ciencias
Justificación
en la nueva ordenación de Secundaria
El contenido de esta comunicación forma parte, y hace referencia,
a la Unidad Didáctica titulada "GEOMETRÍA FRACTAL ¿Qué son y cómo
pueden los fractales ayudar a representar y a organizar el espacio?",
que incluye el desarrollo completo del resto de coordenadas curriculares
(contextualización, objetivos didácticos, metodología, contenidos,
evaluación y recursos) y de una serie de actividades propuestas
para las materias de Matemáticas e Informática de ESO y Bachillerato.
Este material está siendo experimentado para alumnos de niveles
equivalentes a Tercero de ESO y Primero de Bachillerato.
Justificación de la propuesta y descripción
de la unidad didáctica
El propósito de esta unidad didáctica es suministrar una propuesta
curricular sobre la introducción a la geometría fractal, con el
objeto de que aquellos profesores, que lo consideren interesante,
puedan incluir los fractales como contenidos de secundaria, bien
dentro del bloque "representación y organización del espacio" de
Matemáticas, o bien como contenidos propios del "Taller de Matemáticas".
En todo caso partimos de la idea de que los fractales suministran
modelos que contribuyen a percibir el espacio y las propiedades
geométricas de objetos y procesos naturales. Queremos también poner
de relieve varios hechos: Primero la conexión que existe entre este
dominio del conocimiento y algunos de los objetivos educativos establecidos
para la etapa de Secundaria. Segundo, la importancia, y las posibilidades,
de introducir por primera vez unos conocimientos formulados de manera
reciente (su desarrollo se ha producido en los últimos quince años).
Recordemos que, en el contexto de la geometría descriptiva que se
imparte ---o mejor que se impartía--- en los niveles equivalentes
a secundaria, no se han incorporado contenidos prácticamente posteriores
a Euler. Y por último conviene resaltar el potencial cognitivo de
los modelos que suministra la geometría fractal y que permiten dar
estructura cognitiva a objetos y procesos naturales (su representación
y su forma) así como estudiar algunas de sus propiedades. Señalar
además que ello es posible en buena medida gracias al uso del ordenador
y de herramientas como LOGO, que posibilitan el cálculo y la interacción
con potencia y rapidez, y que permiten al alumno observar la variación
de las formas así como formular y contrastar las propiedades.
Por último ofrecemos algunos de los fractales sencillos más significativos,
algunas propuestas curriculares a desarrollar, y algunos ejemplos
de programas LOGO para representar fractales no muy complicados
y para estudiar sus propiedades y naturaleza.
Cuando se dice que "es preciso que el curriculum refleje el proceso
Constructivo del Conocimiento Matemático, tanto en su proceso histórico
(Sic), como de apropiación por el individuo " y que "la finalización
y estructuración del Conocimiento Matemático como sistema deductivo
no es el punto de partida, sino más bien un punto de llegada en un
largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos
intelectuales eficaces para interpretar y representar (...) determinados
aspectos de la realidad" (MEC, 1991), se nos están haciendo distintas
propuestas de desarrollo Curricular:
- Que las estrategias y metodologías de enseñanza utilizadas,
partan del nivel de conocimiento del alumno (terminológico, conceptual,
de sus experiencias, percepciones, etc.).
- Que progresemos en proporción a como el alumno progresa en la
adquisición de conocimientos. En la medida que se apropia de ellos.
Y que esta progresión tiene mucho que ver con cómo los alumnos
organizan sus conocimientos (los organizadores previos) y con
qué conceptos los relacionan (conceptos inclusores).
- Que el proceso de formación de las ideas en la etapa evolutiva
de construcción del razonamiento lógico-formal es eminentemente
inductivo, y por tanto que el aprendizaje en Matemáticas, o en
Geometría, es tanto más significativo, y la adquisición de propiedades
del plano y del espacio es tanto mejor, más eficaz, cuando el
equilibrio inducción-deducción se basa más en aspectos inductivos:
Primero reconocimiento y formulación de propiedades en objetos
más reales y, posteriormente, su generalización y clasificación
en objetos más abstractos y más formales.
En este sentido el nuevo curriculum propone partir de situaciones
y experiencias del alumno para llegar a los mismos contenidos
tradicionales: Figuras y cuerpos geométricos, semejanzas, movimientos,...
Lo cual está bien, pero en ningún momento la propuesta curricular
integra contenidos nuevos que cumplan en sí mismo los principios
del aprendizaje significativo. Esta ausencia viene avalada explícitamente
en una razón: El aparato disciplinar (en este caso matemático:
teoremas, demostraciones, enunciados, ...) hace inviable tal
propósito.
Esto que en general es cierto en dominios de reciente desarrollo
tales como caos, sistemas dinámicos, lógica borrosa, etc., no
lo es en lo concerniente a la GEOMETRÍA FRACTAL (salvo para
los muy puristas que entienden que el acercamiento de los con
ceptos matemáticos al estudiante medio, o su divulgación, resta
validez a éstos).
De esta forma nos podemos preguntar ¿qué esta más próximo al
mundo de co nocimientos y percepción de un alumno de Secundaria?:
Lo plano (objetos planos o que sugieren el plano), la línea
recta, e incluso las formas cúbicas, esféricas, elípticas,...
o el perfil de una montaña, el perfil de un charco de agua,
la ramificación de un árbol o de un arbusto.
¿En qué caso es mayor la "distancia conceptual"?: Entre un objeto
plano y el concepto de plano, o entre la percepción visual de
las ramas de un árbol y el concepto de recurrencia. En todo
caso ¿es substancialmente mayor la distancia conceptual en este
caso que en aquel?.
Sobre el aspecto inducción-deducción también nos podemos plantear
varias cuestiones: Mientras que con la mayor parte de los objetos
geométricos el proceso de acercamiento de forma deductiva a
un sistema matemático estructurado es lento y a me nudo dificultoso,
o entraña fuertes dificultades cognitivas, en el caso de los
objetos fractales el acercamiento se produce de forma instantánea,
casi mediante un mecanismo analógico simple, a veces mediante
solo la percepción visual. Sin embargo no hay que engañarse,
la dificultad en este caso se suele producir en la parte deductiva.
De esta forma es muy sencillo para un alumno establecer que,
por ejemplo, el perfil de un charco, el perfil de un lago, el
de una zona de costa, o el de un mapa pertenecen a la misma
categoría de objetos. Formular un procedimiento para medir la
longitud del trozo de costa o del perfil, para medir el área
encerrada, o para analizar la continuidad del trazo no es una
tarea sencilla, más bien corresponde a niveles de aprendizaje
de Matemáticas más especializados. De todas formas esto también
sucede en la justificación no empírica del cálculo del área
limitada por ciertas curvas regulares consideradas sencillas.
Por tanto la propuesta que hacemos es la de incluir, como
contenidos de Secun daria, conceptos y procedimientos de GEOMETRÍA
FRACTAL, tanto en el bloque "REPRESENTACIÓN Y ORGANIZACIÓN DEL
ESPACIO" de Secundaria Obligatoria como en los correspondientes
bloques de Geometría en las asignaturas de Matemáticas II de
los Bachilleratos de Ciencias Naturales y de Tecnología, aparte
de la opción que puede suponer incluirlos como una parte o como
toda la materia del "Taller de Matemáticas".
Para conocer LOGO es preciso saber en qué momento y en qué circunstancias
se crea. El lenguaje LOGO nace a finales de la década de los sesenta,
en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts). Es el primer
lenguaje creado con fines exclusivamente educativos. Hasta entonces
los lenguajes de programación solo se utilizaban en el campo de
la formación como herramientas para programadores para resolver
problemas y realizar tareas en otros campos: Cálculos complejos,
almacenamiento de información, etc. Y solo de forma secundaria
se utilizaban en educación, fundamentalmente para construir programas
de instrucción asistida por ordenador EAO (enseñanza asistida
por ordenador o CAI, computer asisted instruction), que consistían
en volcar información existente en libros a programas. Esto podría
constituir una novedad en como soportar la información, incluso
en como procesarla, pero no en como enseñar o en los procesos
de aprendizaje ---la metodología y estrategias eran las mismas
que se utilizaban con los libros.
La paternidad de LOGO se atribuye a Seimour Papert (ITM) que es
quien dirige y coordina los trabajos de investigación y los desarrollos
informáticos que concluyen con la primera elaboración de una versión
de este lenguaje interpretado. Papert es un matemático, colaborador
de Piaget y seguidor de sus ideas, que ha trabajado con él en
el Centro de Epistemología Genética de Ginebra, sobre la psicología
del aprendizaje y la construcción del conocimiento matemático.
Las ideas de Papert se reflejan fundamentalmente en su obra "El
desafío a la mente".
En él distingue, como lo hace Piaget con carácter general, dos
tipos de conocimiento, o de procesos de aprendizaje, para la geometría
o para las ideas y conceptos geométricos (lo que más modernamente
se conoce como la percepción del espacio): Uno, el que se aprende
en la escuela, de forma pasiva, impuesta y escasamente vinculada
por lo general a criterios de utilidad aceptados por el niño,
otro lo constituyen el conjunto de procedimientos, y de ideas
geométricas, que los niños utilizan y aprenden (porque les son
útiles) para sus desplazamientos o para describir una posición,
para trasmitir ideas sobre donde está o como se llega a determinado
lugar u objeto. Sin duda más identificados con sus esquemas corporales,
y aceptados como más útiles. Estos procesos, que junto con otros,
los niños aprenden de forma espontánea, y vinculados a criterios
de utilidad, motivación personal, etc. son conocidos como procesos
piagetianos de aprendizaje, y se producen acumulando experiencias
y procesándolas, estableciendo relaciones entre ellas,... De esta
forma aprenden a ir de un sitio para otro, a hablar, y la lógica
elemental para manejarse con sus padres o con otros niños.
En este sentido la preocupación de Paper es porqué ciertos aprendizajes
tardan tanto en producirse o no se producen nunca sin ayuda de
una instrucción especial, o porqué la dificultad tan generalizada
en la adquisición de ciertos conocimientos geométricos o matemáticos.
La idea de Paper, como la de Piaget, es que la dificultad del
aprendizaje no se deriva exclusivamente de la dificultad intrínseca
de los conceptos, o de la pobreza de recursos intelectuales del
niño, como de forma tradicional se afirma, sino también por la
carencia de recursos conceptuales (en los materiales, modelos,
metáforas,...) que nuestra civilización proporciona. Como sucede
en otros paradigmas constructivistas, para Paper es el alumno
el que crea su propio conocimiento siempre que le suministremos
los medios adecuados. En este sentido la forma de superar la dificultad
señalada, para él, estriba en suministrar herramientas conceptuales
que permitan saltar de un tipo de conocimiento a otro, es decir
de realizar la trasferencia. LOGO adquiere, de esta forma, sentido:
Cumplir en parte este objetivo.
El paradigma vigente en la época, el conductismo y otros modelos
basados en el aprendizaje por condicionamiento, ponen énfasis
en la modificación de conductas, en la adquisición de hábitos
y destrezas vinculados a refuerzos. Por el contrario las corrientes
cognitivistas ponen el énfasis en considerar al sujeto como autor
de su propio aprendizaje. Este proceso se basa en la incorporación
y acomodación de nuevos conocimientos (informaciones) en los esquemas
de conocimiento ya existentes. Este proceso comporta un conflicto
entre el nuevo material cognitivo y el ya existente (conflicto
cognitivo). De resultas el alumno puede incorporar el nuevo conocimiento,
si el conflicto no rebasa un límite aceptable, acomodándolo a
la estructura ya existente, o puede rechazarlo si rebasa dicho
nivel. Estos límites son personales y distintos para cada sujeto.
Constituyen, en palabras de Vigonsky, el nivel de desarrollo efectivo
(lo que el alumno es capaz de aprender por sí mismo) y el nivel
de desarrollo potencial (lo que el sujeto es capaz de aprender
con ayuda), entre los cuales se encuentra la zona de desarrollo
próximo. Este es el terreno de acción de las estrategias de enseñanza
y de los recursos educativos. En este marco es donde LOGO puede
colaborar ayudar al aprendizaje de la geometría, permitiendo una
gradación en el proceso de incorporación de nuevos conceptos y
conocimientos geométricos.
Todo lo anterior se reduce a buscar y encontrar elementos que
vinculen constructos conceptuales (del pensamiento formal) con
elementos ya existentes vinculados a a esquemas de conocimientos
previos, por ejemplo el esquema corporal, los esquemas sensoriomotores,
produciendo una visión antropomórfica de los problemas.
El elemento central de LOGO para producir este tipo de vinculaciones
es la TORTUGA: El elemento de interlocución entre el niño y el
ordenador. A través de ella se produce una identificación del
niño, dentro del área de trabajo del ordenador. Esta componente
activa y de identificación, según Paper, es favorecedora de ciertos
aprendizajes de Geometría: Girar 90º a la derecha es lo que yo
tengo que hacer para pasar de mirar al frente a mirar completamente
a la derecha.
Según Paper, conceptos sencillos como ángulo, giro, cuadrado,
triángulo, ciertas propiedades de los polígonos regulares,...
son asimilados más fácilmente de este modo. A otro nivel, también
otras ideas no tan simples como son las de transparencia (no depender
de un sistema de coordenadas) y la recursividad también son mejor
adquiridas con este recurso.
Otro elemento importante en LOGO son los MICROMUNDOS: Un micromundo
es un subconjunto de la realidad LOGO que trata o es concerniente
sobre un conjunto de conceptos relacionados entre sí y diferenciados
del resto. Así hablamos, por ejemplo, de los micromundos geometría
del plano, geometría del espacio, la dinámica (dinámica de Newton),
el micromundo de la Música,... el micromundo de los fractales,
etc.
Una idea poderosa es en LOGO una propiedad de los objetos LOGO,
que el alumno puede descubrir, y transferir a un objeto, o a una
categoría de objetos, de otro ámbito conceptual (geometría del
plano, del espacio,...) como propiedad. Por ejemplo: El alumno
puede descubrir que un polígono cierra cuando el giro es el ángulo
exterior y no cuando valga el ángulo interior, qué relación existe
entre este y aquél, cómo se obtiene el triángulo exterior, y puede
por último concluir un procedimiento para obtenerlo.
Por último LOGO favorece, o puede favorecer, la adquisición por
parte del alumno de ciertas estrategias de resolución de problemas:
Análisis descendente (top down), o ascendente (botton up), o estrategias
de modularización (dividiendo un problema complejo en otros más
simples). Esta característica de LOGO se debe en buena parte a
que trabaja en modo directo y a que es altamente interactivo.
Otro aspecto que favorece es el del análisis de la tarea, y a
la detección del error. En este sentido LOGO es altamente autoinstructivo.
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa
fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto,
se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro
de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene
en Yorktown Heights, Nueva York, y aparecen como tal a finales
de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot,
1977 y 1982). Aunque como veremos anteriormente Kocht, Cantor
y Peano entre otros, definen objetos catalogables dentro de
esta categoría, pero no reconocidos como tales.
El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de
vista, como después veremos, sin embargo se acepta comúnmente
que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos
también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de
aspecto similar. Con la particularidad de que si un objeto fractal
lo aumentamos, los ele mentos que aparecen vuelven a tener el
mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos,
y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores.
Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva.
Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas
diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo)
sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño,
resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor
o si son distintas. El que cada elemento de orden mayor esté
compuesto, a su vez, por elementos de orden menor, como sucede
con las ramas de un árbol es lo que da estructura recursiva
a los fractales.
Para representar gráficamente un fractal basta por tanto encontrar
la relación o la ley de recursividad entre las formas que se
repiten. Es decir encontrar el objeto elemental y la ley de
formación y establecer el algoritmo gráfico. es por esto que
lenguajes como LOGO se avienen tan bien para representar fractales.
Con la ventaja ademas de la transparencia, la capacidad que
LOGO tiene para considerar las coordenadas relativas a cada
posición que tiene la tortuga.
En los menos de tres lustros que han transcurrido desde que
Mandelbrot formuló la definición de fractal, es asombroso la
cantidad y la rapidez con que científicos han ela borado modelos
para describir y para comprender como la naturaleza crea sus
formas, y como el crecimiento en la naturaleza está vinculado
a modelos fractales. Tal parece que la naturaleza sintiera predilección
por la estética fractal. Si se lo explicamos bien un niño puede
encontrar formas fractales en múltiples estructuras vegetales:
hojas, troncos, ramas, raíces. en el perfil de montañas, rocas
y piedras, ... Por su parte los científicos han identificado
fractales en la forma de las galaxias, las costas marítima,
las montañas y perfiles rocosos, los perfiles de los bosques,
las fronteras, ....y en procesos físicos y químicos: La cristalización,
las fracturas de materiales, los movimientos de partículas,
las descargas eléctricas, la electrólisis. En nuestro organismo:
El sistema circulatorio, la ramificación de venas, arterias,
nervios, la estructura de los pulmones,... Y en otro ámbito
se pueden considerar formas fractales las nubes, los relámpagos,
los árboles, ...
Es importante señalar que aunque los fractales no permiten explicar
ni dar modelos para describir todas las formas naturales, por
primera vez nos encontramos frente a un planteamiento que permite
describir y dar respuesta a formas geométricas tan distintas
como las que tienen los objetos descritos. Además el planteamiento
es muy atractivo por dos razones: La primera por su sencillez,
y por su capacidad para ser computerizado en forma relativamente
sencilla como es con procedimientos LOGO, y la segunda por dar
modelos para representar y describir algorítmicamente una gran
variedad de formas naturales.
Lo primero que hay que decir en este apartado es que el estudio
de los fractales no es algo privativo, o exclusivo, de las Matemáticas.
El estudio y origen de los distintos fenómenos que se explican
mediante modelos fractales corresponde determinarlo a las disciplinas
científicas donde se planteen. En todo caso sí queremos señalar
el potencial interdisciplinar de estos objetos, como elementos
que pueden constituir el eje sobre el cual distintas disciplinas
pueden trabajar coordinadamente.
Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación
práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza.
Fue el propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir
la potencia de los fractales para construir modelos que explicasen
la realidad, y esto lo hizo desde su primera formulación y desde
sus primeros trabajos que, con un notable afán práctico y divulgador,
están dedicados al problema de medir la costa de Gran Bretaña.
En este sentido es indispensable leer las obras de Mandelbrot
(1975) y (1977), así como la de Feder (1988).
Otra cuestión que hay que decir es que por su novedad este dominio
de las ma temáticas está lleno de intuiciones muy acertadas,
pero también de ambigüedades, y de un carácter difuso que hasta
cierto punto repugna a los matemáticos muy puristas, y por el
que es acusado de excesivo empirismo, e incluso de ausencia
de rigor formal. Sin embargo hay que recordar que algo parecido
ha sucedido con importantes cuerpos teóricos de las matemáticas,
por no decir casi todos, así sucedió en su momento con los métodos
de cálculo de Newton y Leibniz, por ejemplo.
¿Qué criterios se pueden seguir para decir que un objeto real
tiene estructura de fractal?. Está claro que un criterio puede
ser el de la simple percepción visual o intuición. A la vista
de algo esta claro que alguien exclamará ¡esto es un fractal!.
Esto ya es un criterio bueno y que nos vale para trabajar con
nuestros alumnos. A continuación podemos investigar algo más,
el alumno nos puede decir que lo mismo que se ve a gran escala
se ve a pequeña escala. lo cual nos da ya idea de recursión
o de auto similitud. O que se parece aun árbol, lo cual nos
da ya idea de arborescencia. Este lenguaje que es vago e impreciso
no está muy lejos, aunque parezca extraño, del significado científico
que se atribuye a un objeto real o natural cuando se dice que
es un fractal. Así por ejemplo ¿qué se quiere decir cuando se
dice que una zona de costa es un fractal?. Desde luego no quiere
decirse que haya una curva y una fórmula matemática que se ajuste
de forma precisa al perfil del litoral. Lo que quiere decirse
es que pueden definirse un modelo matemático fractal, que se
ajusta con unas cotas máxima y mínima de error, cotas que se
pueden determinar de forma precisa, al perfil de la costa. Así
veremos no solo que se han ajustado curvas fractales a ciertas
zonas de costa, Gran Bretaña, Noruega, y a fronteras como la
de España y Portugal, sino que además como veremos coinciden
con una variante estocástica de las curvas de Koch y que también
se ha determinado su dimensión fractal.
La cuestión que se plantea a continuación es si un objeto con
estas características, un trozo de costa, la red arterial,...
son realmente fractales, o dicho de otra forma si existen realmente
fractales en la naturaleza. Esta pregunta, que es legitimo hacerla,
e incluso responderla negativamente, es decir negando la existencia
de los fractales en la naturaleza, es la misma que se hace cuando
se pregunta si existen superficies planas o lineas rectas en
la naturaleza, o si existen esferas. Sería como suponer que
en la naturaleza no existen esferas por que la Tierra, u otros
planetas, no se ajustan con precisión a lo que es una esfera
ideal tal como se define en Matemáticas.
En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer de
dos formas, o más bien en relación con dos circunstancias. Una
de ellas es en una situación de frontera, y aquí incluimos todos
los casos en que entran en contacto dos medios humanos, naturales,
físicos, químicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera
entre países, riberas de los ríos, litoral, nubes, ... Y la
otra situación es la de árbol. Es decir aquellos casos en que
se produce una ramificación con auto similitud: árboles, arbustos,
y plantas, tejidos arteriales, cuencas fluviales con sistemas
de río, afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc. redes
capilares, redes pulmonares, ...
En resumen, creemos de interés incluir los fractales en la
geometría de secundaria, no solo por las razones de tipo curricular
que citábamos al principio, como es la con tribución a los objetivos
establecidos para este ciclo educativo, sino además por razones
de actualización científica, de esta forma sería la primera
vez que se incluyeran contenidos matemáticos sustantivos, no
instrumentales como pueda ser el caso de la teoría de conjuntos,
cuya formulación haya sido posterior al siglo XVIII.
Existen además las razones puramente derivadas de la estética,
o de la curiosidad, que producen la observación y el estudio
analítico de estas curvas, y que estimula la for mulación de
modelos matemáticos o geométricos, que permitan comprender fenómenos
científicos o tecnológicos de cierta profundidad.
La introducción del ordenador, y en particular de LOGO, con
su inmensa capacidad de iteración rápida e interactiva, con
la ayuda de algoritmos y procedimientos relativamente sencillos,
es el instrumento ideal para el trabajo con este tipo de objetos
matemáticos. Con su capacidad de interacción con el usuario,
el ordenador permite un ajuste rápido entre las intuiciones
establecidas en términos de procedimientos espaciales y la formulación
definitiva de estos procedimientos como algoritmos, mediante
contrastes sucesivos con variaciones en los programas y en las
ejecuciones. Hasta ahora la variación de las condiciones en
los modelos solo podían ser seguidos mediante experimentos o
simulaciones mentales reservados a aquellos alumnos más competentes
para la retención de datos y para llevar a cabo representaciones
mentales.
A esta capacidad para la iteración, o más propiamente, para
la recursividad, puesta de manifiesto por los ordenadores y
en particular por LOGO hay que añadir la capacidad gráfica de
los entornos Windows (o de otros entornos gráficos) que permiten
con su poder de resolución y rapidez de ejecución, seguir los
procesos iterativos, y contrastar la variación en las representaciones
con las variaciones en los parámetros. Aumentando con todo ello
la intuición espacial y la confianza y satisfacción por los
modelos y algoritmos creados.
La inclusión de esta materia encuentra su justificación en la
nueva ordenación educativa en los principios, objetivos y definición
de contenidos que reproducimos de los decretos de mínimos y de
curriculum (MEC, 1991) y (MEC, 1992) (R.D. 1007/91 de 14 de Junio.
de 26-6-91). Señalamos aquellos aspectos o referencias que se
pueden citar di rectamente para justificar la inclusión de los
fractales. Como ejercicio para el lector su gerimos que, una vez
leído este trabajo, intente relacionar lo seleccionado con distintas
características de los fractales:
A) SECUNDARIA OBLIGATORIA.
Principios para la selección y organización de contenidos
. Principios 2º. y 3º
Objetivos generales de Matemáticas: 7. Identificar las formas
y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando
las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo
sensible a la belleza que generan.
Contenidos del Bloque 3. Representación y organización
en el espacio
Conceptos:
1. Elementos y relaciones básicos para la descripción y organización
del plano y el espacio.
2. Figuras y cuerpos geométricos : Elementos característicos
y relaciones entre ellos.
Procedimientos:
2. Construcción y utilización de modelos geométricos, esquemas,
mapas y planos.
4. Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en cuerpos,
figuras y configuraciones geomé tricas.
Actitudes:
2. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones
y relaciones geométricas.
3. Sensibilidad ante las cualidades estéticas de las configuraciones
geométricas.
B) BACHILLERATOS.- Modalidades de Ciencias de la Naturaleza
y Salud. y de Tecnología.
Objetivos como adquisición de las capacidades de
2. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas,
utilizándolos en la interpretación de las ciencias, en la actividad
tecnológica y en las actividades cotidianas.
4. Utilizar, con autonomía y eficacia, (...) los procedimientos
propios de las matemáticas (...) para explorar situaciones y
fenómenos nuevos.
Matemáticas II
Contenidos
3. Geometría
Estudio de algunas formas geométricas (rectas, curvas, planos
y superficies), relacionando las ecuaciones con sus características
geométricas. Introducción al conocimiento de algunas curvas
y superficies comunes.
El trabajo incluye además: Propuesta de integración en los
distintos niveles y ciclos de Secundaria, contextualización,
objetivos didácticos, metodología, contenidos, recursos y evaluación.
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